原因がメンタルか技術かで切り分けた方がいいかも？
まず、プレッシャーを感じて手が動かなくなってしまうのか、手が動かなくてプレッシャーに思ってしまうのかはどっちだろ。前者はメンタルの問題、後者は技術の問題になると思う。

■メンタルの場合
ある程度は吹っ切る。
万人にイラストの出来もトピ主自身も好きになってもらえるなんてことない。全員に対してビクビク依頼をこなすより、ある程度はふっ切れた上で作業したものを気に入ってくれる人・仲良くしてくれる人を探しあてる方が効率的。
「プレッシャーでダメになる自分はダメだ！」じゃなく、「この人に気に入ってもらえなかったら次がんばろう！次の人に活かそう！」と吹っ切れると一番いい。ただポジティブお化けじゃないとこれもすぐには無理なので、別にできなかったらその都度落ち込みはしていいのよ。じゃないとうまくならないから。ただどこかで切り替えるようにする。

■技術の場合
メンタルが安定している上でそれでもうまく描けなかったり締切ギリギリになるのは、自分の作業工程の把握とスケジュール管理の問題でもある。
納得出来るものが描けないのは引き出しが少ないからなのか、描く前のイメージが明確になっていないからなのか、別の問題か。一回「自分がどこでつまずくのか」を分析してもいんじゃない。
また締め切りギリギリになるのは自分が作業をこなすにどのくらい時間がかかるのかを把握していないからかもしれない。そうすると逆算ができず、他の不調もあってどんどん時間がなくなってしまってさらに焦る。

この辺で当てはまるものがあればいいな。
メンタルか技術か判断できない時は全部、またはできるとこだけやるんでもいいと思う。

ちなみに自分も依頼受けるけどやってる最中はめっちゃ心臓バクバクいってる。これはメンタルからくるので上記のこと考えてなんとか手動かしてるよ。
トピ主は有償依頼とかくるからにはうまいんだろうし楽しくかつ自分がこれと思うクオリティのもの描けるようになるといいね。