中堅？くらいの漫画書きです。自分は、作品自体にかなり癖はありますが、キャラ描写と掛け合いの面でそれなりに評価をいただいてるので回答させていただきます。
＞自カプの解釈が凝り固まってしまい、セリフ運びがぎこちない
恐らくここが重要で、そもそも掛け合いが上手い人は、自カプの解釈に合わせてセリフを吐かせているわけではないと思います。カップリングとしての解釈で～という堅苦しいことではなく、受け側のキャラ、攻め側のキャラを人間として会わせた時に、人生経験上（or原作設定上）こういう風に喋り出すし動き出すよな～と自然に会話してくれるという感覚が正しいです。そして、この会話の中で、お互いはここに惹かれるだろうというのは、自分でキャラたちを会話させ、そしてネームに書き出しながら自然に辿り着くものです。これが分かるようになるには、キャラへの深い考察と場数をこなす必要があります。要は、慣れです。
最初から、今回はこういうストーリーで、解釈はこうでこうなる！という風な書き出し方をすると、キャラの描写の面で窮屈になったり、不自然になってしまいます。そして、キャラ掛け合いが上手い人は総じてストーリー先行型ＣＰ解釈漫画ではなく、キャラ漫画としてＣＰを書いていて、くっつくストーリーや合理性はあとでついてきている感じです。前者は、ぶっちゃけ他キャラでも成り立つじゃんっていう中身の漫画で、後者がトピ主さんが感じておられる、キャラがいきいきしている漫画です。キャラ漫画はキャラの解釈が原作からぶれないし深いので、オーバーに書かれていても気持ちよく読めるのです。トピ主さんも自カプ以外の会話は、そこまで解釈など考えずに、ただキャラを楽しく（or悲しく）会話させるだけの漫画を書いているから会話も自然になるし、楽しいと思えるのではないでしょうか？その感覚を自カプに持っていけば、きっと自然で魅力的なＣＰを書けると思いますよ！
そして自分が書ける作風というのもあります。オーバーめにコミカルに書いて面白い人と、淡々と繊細に美しい感じで書いて面白い人がいます。それはその人の性格と人生経験で決まります（自分は前者で、後者は100年かかっても書けません）
しかし物事には守破離があり、トピ主さんは今、破（他作者様のいいところを吸収して自分の作品に落とし込む段階）なんだと思います。ぜひ、その掛け合いの上手い作者様方を徹底的に真似たり研究したりして頑張ってくださいね！ちょっと大変ですけど、自分の作品との違いを見つけるの大事です！

お返事が遅くなってしまいすみません。トピ主です。

親身に回答してくださってありがとうございました！道が開けたような感覚があり、何度も読み返しています。

＞受け側のキャラ、攻め側のキャラを人間として会わせた時に、人生経験上（or原作設定上）こういう風に喋り出すし動き出すよな～と自然に会話してくれる
私も描きながらキャラが喋りだすときがあるのですが、コメ主さんも指摘してくださってるように、解釈はこうでこうなる！という思考も同時に存在していてそっちに雁字搦めになってしまうな…と振り返ってみて思いました。

＞自分でキャラたちを会話させ、そしてネームに書き出しながら自然に辿り着くもの
まさに到達したい？なりたい？書き手そのものです…！
場数、慣れと言っていただけて少し気持ちが楽になりました。
コメ主さんが仰るように、キャラが会話する楽しさを大事にして、とにかく一つずつ作品に昇華していこうと思います。

作風については、コメ主さんが挙げているものだと私は後者に近いです。(美しさや繊細さがあるかはわかりませんが、淡々と静かな話が多いかもしれません)
そのような雰囲気の話が好きなのでそういう作風になっているんですが、コミカルな作風に憧れもあります。だからより他の方の作品に惹かれてしまうのかもしれません。
破の時期だと信じて、他の方の作品で良いところや好きなところを研究してみようと思いました。

背中を押していただけたような気持ちです。また読み返させていただきます…！本当にありがとうございました。