普通に洗濯することができない素材なのですか？
印刷所に発注したイラスト入りのものなどであれば印刷所に洗濯について問い合わせしてみてもいいとは思いますが……
ただの布なら洗濯するか買い替えたらいいと思います。このご時世なのでビニールのテーブルクロスを使い捨てにしている方もちらほら見かけますよ。
防疫のためにも、1度使ったら毎回洗うことをおすすめします。

どういった汚れなのか分かりかねますし
わざわざ「サークル布」としてここに書き込まなくても、その布の素材で検索などかければ解決するのでは…と思いました。

漂白剤は使わない
中性洗剤を使う
風呂場で手洗いするか、洗濯機ならネットに入れ弱で洗う
他のものと一緒に洗わない
強く絞ったりしない
干すときは陰干し、吊り干し
アイロンは低い温度で行う

って感じですかね。
ご自身でするのが億劫ならクリーニング屋に出して指定するのも手ですが、あんまり厄介だと受け付けてくれない場合も多いです。