Twitterのアイコンの仕様は基本的に400px×400pxのJPG画像です。
アップした画像が劣化するのは「リサイズ」と「変換」が原因です。

①画像サイズを合わせる
アイコン画像のサイズは400px×400pxですが
これよりも大きい画像であれば縮小されてしまいますし
これよりも小さい画像であれば引き伸ばされてしまいます。
なので、ピッタリ400px×400pxの画像を用意します。

②(透過)PNGにする
画像形式の基礎知識として
JPG形式はデータ圧縮率が高く劣化しやすい
JPG形式はデータ圧縮率が低く劣化しにくい
というものがあります。

そしてTwitterは透過PNGをアップして「リサイズの必要がない場合」のみ、
そのまま透過PNG形式で表示することが可能です。
リサイズ変換されると透過PNG→JPGで表示されます。

これは透過PNGのみで、透過領域のないPNGはJPGに変換されてしまうことがあります。（詳細後述）
透過PNGにするには、画像の端などを削って空白にするのがポイントです。
またTwitterは丸表示なので、いっそ丸形の透過PNGでも問題ないかと思います。

一応検証したところ、画像サイズが400px×400pxのPNG形式であれば、透過領域がなくても無劣化でアップ・表示はできているようでした。
なので、必ずしも透過PNGである必要はありませんが、JPG形式よりはPNG形式の方が画質という点では優れています。
このあたりは一口にPNG形式と言ってもPNG8・PNG24・APNGといったサブ形式も多くあるため、確証はありません。

■まとめ
400px×400pxの透過PNGでアップロードすれば、無変換・ノーリサイズ・無劣化で表示される。