お望みのものではないかもしれないですが、思いついたので羅列してみます。
・「朝目覚めなかった、なぜ？」を起点に話を作る（→前日に飲みで盛り上がりすぎて～とか、時差が…とか、あの几帳面なアイツが遅刻？！とか広げられるかも？持って行き方では死ネタなシリアスにもなるかも。）
・描きだしを露骨に昼・夜にしてみる。舞台を宇宙・海中にする。ハプニングを決めて書くのではなく、情景描写から書いてみて、話を考える。
・逆にトンデモ出来事をどうしたら起こせるのか、トコトン詰めていっそSFちっくに書いてみる。
・上の方の仰られるよう、平凡な何も起きなかった日常を考える。私はこれかなり萌えてよくやります。
すみません、ボケみたいな回答になっちゃいましたが、気分転換にでも良かったら使ってみてください。私は一言目台詞をよくやってしまいます。

書き出しって難しいですよね……。自分の手癖が出やすい箇所の一つのような気がします。

例えば隣で見知らぬ男が寝ていた、というパターンんでちょっとやってみます。
①シチュエーションを分解していくところからスタートします。言い換えたり、膨らませたり。
（例）
・隣で寝ているということは
→同じ布団で寝ている。シングルベッドなら邪魔かも？寝返り打ったらぶつかりそう。暑そうだな。
・見知らぬ男ということは
→腕枕でラブラブで寝るイメージでは無い。背中を向けているかも。でも本当に割り切った相手なら朝まで一緒にいないかな。なら、悪い時間ではなかったのかも？
……という要領です。

②分解した内容の中から、物語の導入として使いやすそうな物を選びます。
私なら、寝返りを打ってぶつかるところをチョイスします。ぶつかったのをきっかけに主人公の目が覚めて、慌てたり、相手を思い出したり……と、テンポよく話が進められるかなと思ったからです。

③②のエッセンスを短い一文にまとめます。シンプルな内容を自分らしい表現で伝えるなら、という意識で作ります。これを冒頭の一文目にします。

そんなこんなで私が書くならこんな感じになります。
＞朝目覚めたら見知らぬ男が隣で寝ていた！
→寝返りが阻まれうるものだなんて知らなかった。額がぶつかったのはやわらかな壁だった。背骨の隆起をなぞれるほど僕は無邪気でもないし、その男を知っているのでもない。ただ、彼がまとう周りの空気があつく濡れていて、それが心地よかったことはぼんやりと覚えている。

普段一文目を作る時どのように作っているかは意識をしていなかったのですが、こうして言語化することで自分のやり方を見つめ直すことが出来ました。素敵な機会をありがとうございます……！

少しでも参考になりますように！

まずは目覚めるのは朝でなくてもいいんでは！？
という、自分の固定概念を見直してみるというのはどうでしょう？

目が覚めてなにかが起きるという流れを作った場合に、例えば昼御飯を食べて満腹になってうたたねしたら、でもいいですし、魔法やその他特殊な設定があるのならば、それを浴びたり使ったり飲んだりして気絶して目が覚めたら、でもいいわけです。
さらに言えば朝目覚めないとしたら、なぜその状態になったのかということを書かなくてはいけなくなるので、目覚めるまでの過程を書き出そうとしたら、自ずと始まりは朝目覚めたら、じゃなくなっています。

同じ「目が覚めた」でも、シチュエーションや物語の展開を変えるだけでも割りと印象は変わると思います！
もちろん結果「朝目覚めてるやんけ！」でも面白いと思います笑