本の色に合わせて布を変えられているのは素敵ですね。
レイヤーもやっているので、裁縫を多少するのですが、一般的な布の端処理（ほつれ止め）の方法としては、次の５種類ほどです。

①ピンキングはさみ（ジグザグに切れるはさみ）で端を切る
②ほつれ止め液（ピケ）を塗る
③ミシンでジグザグ縫いをする
④三つ折りにして縫う
⑤バイアステープでくるんで縫う

だいたい難易度順に並べてみました。（①②が簡単、③以降は手縫いかミシン）
逆に仕上がりは④か⑤が一番きれいだと思います。①②③は切りっぱなしよりは良いですが、摩擦や洗濯で多少ほつれてきます。
詳しくは「布　端処理」などで検索してみてください。

前の方の案（布用ボンド）と⑤のコラボで、バイアステープを布用ボンドで貼ってしまっても良いかもしれません。（試してないので上手くいくかわからないですが）
バイアステープは、手芸店のほかに100円ショップでも売っている場合がありますし、色や模様もいろいろなので、布の色との組み合わせが楽しめると思います。

毎回変えるのであれば

①90センチより幅の広い布・養生テープ・布に使える両面テープを用意する
②当日、長机の中央側、端から90センチ、自分のスペースと隣との境目に養生テープを机の長辺に対して垂直に貼る
③布の端、布の表面に両面テープを机の奥行分貼る(前後に垂らす分を考慮して貼る)
④両面テープを剥がし、養生テープの上に布の端を貼り付け、折り返す
⑤反対側の端も机の幅に合わせて内側に折り、必要であれば中央側と同様に養生テープ＋両面テープでとめる

この方法が楽だと思います。布によっては普通の両面テープでも大丈夫です。切るとどうしてもガタガタになりますしほつれるので、端は折ることをおすすめします。
繰り返し使うのであれば90センチ幅に合わせてアイロンで折り目をつけ、布用ボンド(裁縫上手など)でとめると仕上がりが綺麗です。