前提として「全編にわたって視点が一人称で統一されている小説における」地の文、という理解で合っていますか？
それ以外（視点が三人称とか）だと「いや普通にあるよ」という答えしか来ないから、まあそうだろうとは思うんですが……。一応そこをはっきりさせておいたほうがコメント付きやすいかと思います。

上記の前提の場合、主語を省くことで書かない表現は可能です。たとえば、例として上げてある文章も、「俺」「私」は省いても意味が通りますよね。最後の例文だけは作りを変えないとちょっと厳しいですが。
日本語は主語が隠されてしまうことも多いため、そこにトリックを仕込んでおいて「一人称として読まされていたが、終盤で第三者に視点が反転する」などの手法も存在します。かなりトリッキーなので、あまり多用される手法ではないと思いますが。

・喉が渇いていた俺はコップに水を注ぎ一気に飲み干した。
喉が渇いていた。コップに水を注ぐと、一気に飲み干した。

・そうして私はあの子の言っている事を信じることができたのだ。
そうして、あの子の言っている事をようやく信じることができた。

・僕が思っていたよりもこの人は相当ズル賢い。いつも僕を嘲笑う。
思っていたよりもずっと、この人はズル賢い。いつだって他人を嘲笑っている。今、この時も例外ではないだろう。

一人称を抜いて表現することは可能です。
しかし一人称・二人称・三人称を用いることで誰が何をして、どう考えているのかや状況の説明が分かりやすいというメリットはあります。

ただ実際の生活でもそうですが、つらいと思うのは「私」であり、痛いと感じるのは「僕」であり、車を運転しているのは「俺」であり、それらは説明不要ですよね。
わざわざ少し俯瞰して「あぁ、私はいま辛いのか」とか「もう俺は車を運転して何時間になるだろうか」なんて一人称を付けて考えることはしないと思います。

だから「私は喉が渇いたから水を飲んだ」ではなく「喉が渇いたから水を飲んだ」で通じるわけです。
いちいち一人称を付けない方が、逆に自然な文章になったりもします。

小説の「語り口」を分類する／言葉が作る読者との距離感（？）
https://rootport.hateblo.jp/entry/20101105/1288946223
こちらのブログに面白いことが書かれていますので参考にして見て下さい。

記事にもありますが、夏目漱石「坊っちゃん」や宮部みゆき「ステップファザー・ステップ」は一人称を使わない一人称の文です。