私も気にしやすく落ち込みます。
そういう時はもうこんな趣味なんかやめてやる！！って思います。それくらい落ち込みます。人間関係だから傷つくものなんですよ。
気にしいなのでしたら、もしかしたら私と同じで感受性が高いのかもしれません。ネットの閲覧を中止し、瞑想してみるなど、そういう声を聞くのをやめるのをオススメします。気にしないようにしようと思わず「自分はそんな言葉を気にするんだ。気になるんだ」と受け止めた方が良いです。そして呼吸に集中する。
自分はその割に情報を得たい人間なのですぐぶり返してしまいますが、これを全くやらないよりはいいと思います。モヤモヤ事に支配されてた脳がクリアになるかもしれません。

まずネガティブな発言に対する心の持ちようとして、キャラに限ったことでは無く、食べ物や服、色、言葉、どれ一つをとっても自分と同じものを好きになる人はいませんし、人の好みは無理には変えられないものです。ですので、「残念ながら自分とは推しもカップリングの好みも合わない、好きの表現方法すら合わない相性がすごく悪い人なんだな。直接関わり合いになる人じゃなくてよかった」と考えるとネガティブな発言からも心の平穏を取り戻しやすいのではないでしょうか？
その人がTwitterの相互でどうしても関わらなければならない人、とかなら面倒ですが、幸いにも自分から関わりに行かなければ存在しないも同然です。

推しの人気度が気になるとのことですが、気になってしまう理由は、"推しを肯定する意見を欲する気持ちが満たされないから"ということが原因の一つなのでは、と思いました。
過去私もそういう気持ちで「自分以外にも推しをいいと言ってくれる人がいるんだから…！」とすがるように検索していた時期がありましたのでそのように考えました。
そのために変えた行動は、推しの検索をやめることです。といっても、ただやめるだけというのはとても難しいです。推しを求めて検索をしているので。ただ、その求めているものは推しへの肯定だけです。肯定に飢えているから検索してしまいます。
ですので、その対処法として、Twitterなどで推しを思いっきり好きな方のリストを作りました。もちろんその時には他のキャラを下げるような人や攻撃的すぎる人はいけません。ただ、推しを称賛する人でリストを固めてください。トピ主さんのカプ事情(地雷等)や作品の事情などは詳しく分かりませんので、簡単にそんなもの作れないとなると申し訳ないですが、私はこの推し全肯定リストですごく気持ちが強くなり、検索でネガティブな発言を見ても「ふーん」くらいで流せるようになりました。推しの人気度が気になる時は、他の方のポジティブな目線の意見をいただいて、健康なメンタルを保つのもありだと思います。

こういう方法もあるよと言うことで、ご参考になれば幸いです。