一概には言えないですけど、
ネガティブな出来事をネガティブすぎる心情で描くと「重い話」になると思ってます。
ネガティブな出来事を軽めのネガティブ・ポジティブに捉えて描くと「シリアスな話」になるかな、と。

例えばスポーツ選手が骨折して大会に出られなくなったとします。
「ごめん、大会出れなくなった！代わりに出て！」みたいにあっけらかんとしつつ、内心は悔しがっていて隠れて泣いている。それを見かけて「代わりに精一杯頑張るから」と固く約束する、とかならシリアスめ。

ただコーチが「なんで骨折するような危ないことをしたんだ！」と怒ったり、「大会に出れないなんて、俺は今まで無駄な努力をしてきたのか…」って病み気味になると、それはただ重いだけの話になってしまいます。
そういった展開になったとしても、それを支えてくれる人だったり、別の価値観を見出してくれる人が出てくればポジティブな展開になり、結果としてそれなりのハッピーエンドならばシリアスな話になります。

「話の暗さ」が何かを引き立てる・際立たせるためのものであるならシリアス。
そうではなく、暗い色に暗い色をただ重ねていくような話は「重い話」かなって思います。

だから、身内や親族が亡くなったばかりの人たちに取っては、それは「重い話」ですが
それを乗り越えて何か得た人に取っては「シリアスな話」ではあるけど、話せる内容になってるわけです。

個人的な感覚ですが、重い話はそのまんま題材が重い話です。
死とかイジメとか敵討ちとか題材の時点でズシッとくるようなやつです。

シリアスな話はノリが真面目かどうかで茶化しがない感じで、題材はあまり問わない感じ？
合間のギャグとかも少なめな感じです。
コレといったエグイ事件が起こらない、恋愛に悩むだけの話でも作品のノリが真面目ならシリアスみたいな……。
もちろん両方兼ねてる場合もありますが、種類は似てるけど要素としては違うもののような感覚があります。
シリアスって言葉には事態が深刻って意味も含むみたいなので、この感覚はちょっとズレてるかもしれないんですが。

合わせ技というか、「重いけど良い話だなあ」と感じた時に重い話の題材の重さをズシッと実感することが多いかもしれない。

多分感覚的に
重い話→題材が重い話
シリアスな話→ノリが真面目な話（題材は重くない）
みたいに勝手に分けて使ってるな。素敵だと思った作品でも感覚で重い話だと思ったらシリアスとは言わないかも。