検索して一番上に出てきた年賀はがきの計算ページを参考に
（https://www.size-info.com/postcard/nenga.html）

普通はがきサイズですと100mm×148mmですので、こちらを350dpiでピクセル数値を出すと
1378px×2039pxになりますね
トピ主の描かれたキャンバスサイズだとサイズが足りません
その分拡大されて出力された画質が粗くなっていると思います

ネット上のみで出すつもりで描いた小さいサイズの画像を画質そのままで拡大するのは難しいと思います
（小さい画像を良画質のまま拡大できるwebサービスツールをひとつだけ知っていますが、正直これを使うぐらいなら最初から出力に耐えられるサイズで描かれたほうが絶対いいです）

おそらくトピ主のキャンパスサイズ設定はL判のものですね。L判(89㎜×127㎜)の300dpiをピクセル換算すると1051px×1500pxになります。350dpiにしたいのであれば1226px×1750px必要になります。解像度さえ直してしまえばセブンイレブンのL判できれいに印刷できるのではないでしょうか。

はがきサイズですと上の方が書かれている通りのピクセル数ですので、どうしても拡大させずに印刷したいのであればキャンパスサイズを1378px×2039pxに直してしまえばいいかと。ただ周りが余白だらけにはなります。

ネットであげるつもりの小さい画像を加工でネップリ用にするのはやはり難しいので、ネットにあげるだけの絵でも大きめのキャンパスサイズで描いて保存の時に縮小するくらいしかないと思います……。
あとは小さい画像を繋げたり並べたりして印刷に耐えうるサイズにするくらいでしょうか。